Tornado

定義情況C_n,m：n個海盜分m枚金幣。稱呼這些海盜為P₁, P₂, …, P_n-1, P_n。 由P_n制定分配的規則，如果不同意的人數多於或等於同意者的數目，P_n得 要被槍殺，然後退到情況C_n-1,m。

每個海盜都是理性和遵守約定的，不會冒險，而且他們判斷時，不同事物對其重要性如下：（由較重要到不重要）

1. 自己的性命
2. 自己的利益
3. 死亡的人數（海盜認為越來越人受害越好）

設f(n,m,k)為P_k在C_n,m會得到的金幣數 目（若他必死，f(n,m,k)=-∞，若f(n,m,k)不確定，則函數無值），其中m>0, n>>1。

1. 當m>>n>>1時，f(n,m,n)的值。
2. 給定m，對於哪些n，P_n必死？有f(n,m,n)=0？

1. 分n為單雙數考慮：
   1. f(2k+1,m,2k+1) = m – k – 1 ：在C_2k,m， 會有k-1個海盜必定得到0枚金幣。所以在C_2k+1,m，給那些海盜1枚金幣便能獲其支持。再加上自 身，支持P_n的人便有k個。已知隨意選擇一個 i 符合 f(2k,m,i)=1，給予P_i 2枚金幣，也得到其支持了。到在C_2k,m的 情況。
   2. f(2k,m,2k) = m-k ：在C_2k-1,m，有k-2個海盜可能得到0枚金幣，這些海盜是在C_2k-2,m得 到非零枚金幣的人。儘管這些可能得0枚金幣的人中，最終必定有剛好一個海盜在C_2k-1,m剛好得到2枚 金幣，但在C_2k,m未退到C_2k-1,m前，那些可能 者都不知自己在C_2k-1,m會得到2枚還是0枚金幣。以不冒險的原則，他們便會接受1枚金幣的安排。
2. 留意各種邊界情況：
   • f(2m-2, m ,2m-2) = 1 , f(2m-1, m ,2m-1) = 0 , f(2m, m ,2m) = 0 且 f(2m, m ,2m-1) = 0 。
   • f(2m+1, m ,2m+1)=0，因為在C_2m,m的錢幣分配是確定 的，只要P_2m+1的安排是 f(2m, m, i)=0 => f(2m+1, m, i)=1 ，便得到m個人支持，再加起自己，共有m+1人支持，可保性命。
   • f(2m+2,m,2m+2)=-∞ 到了C_2m+2,m，在f(2m+1, m , i ) = 0 的i的值共有m+1個，而P_2m+2只可分配m枚金幣，怎樣分最多也是m+1人 支持自己。
   • f(2m+3,m,2m+3)=0 ！因為P_2m+2不想死，他只有支持P_2m+3。 將m個金幣分配給P_i，其中 i 使得 f(2m+1, m , i ) = 0，以獲得m個人支持（這 可以隨便分）。於是便有m+2人支持P_2m+3。
   • f(2m+k,m,2m+k)= -∞ !? 且慢。在C_2m+7，P_2m+4, P_2m+5, P_2m+6, P_2m+7會 支持，結果他們又能活下來。f(2m+k,m,2m+k) = 0 for k=2^r

參考：

• http://gezhi.org/node/477
• http://www.oursci.org/ency/math/001.htm

PhO training
下午tutorial，tutor講了三小時talk。好正呀。

• 怎樣的physical quantities才算有physical meaning? 可以用實驗「直接」度量出來。
• 有時，為了計算上的方便，物理學家定義一些quantities出來，後來才證實它有physical meaning。
• 物理和數學如何互相影響。所謂的physical approach和mathematical approach，前者可說成geometical approach (symmetry)，後者可能關係更多algebra。關係有點似數學比賽中用coordinate geometry老屈pure geo的問題。
  • positive mass conjecture：廣義相對論說，兩個masses的interaction得出的”mass”，會被兩個mass直接加少。我們直觀地相信全宇宙的物質的total mass是正數，但General Relativity似乎說有可能是負！於是人們便去證明。丘成桐成功用數學證明了，但後來Witten卻從物理角度，給出一個簡單且可推廣的證法。
• string theoists 提出了問題數學家做（註：個人感想：等某些數學家不用乞食 =.=”）。
• 怎樣比較哪樣quantities更fundermantal?（比較 force和momentum, energy，electric field和potential，magnetic field和vector potential，雖然人類都是先認知到前者的現在，後者卻更重要。）
• Gauss’s law in differential form和Coulomb’s law ，兩條公式可以互相推導出，為何前者更「fundermantal」？因為後者的引伸意義只是inverse square law，前者從微分幾何的角度，可以說明E和r^{-1+n}（n是空間維度），亦可以引伸不同的對稱性。

• 	slow	fast (compare with light speed)
  macro	Newtonian	special relativity
  micro	quantum mechanics	quantum field theory

• 企圖統一quantum field theory和general relativity的string theory, string nets, quantum hoop… 等等的理論，是在建立theory of everything（解釋到世上一切的事物），還是theory of anything（不論存在在我們的自然與否，都強大得可以解釋）?
• 點解string theory畀人話（註：我聽過一個說法，是string theory主要不是「解釋」現象，更多「製造」現象，不過他說的是另一個論點）。實驗證明不到，已經不是science。其實做科學好現實，商業講要有錢，科學講求要有實驗去判斷真假。